НЕЙРОЕВОЛЮЦІЙНИЙ МЕТОД КОЛОКАЦІЇ РОЗВ’ЯЗАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
DOI:
https://doi.org/10.32782/tnv-tech.2023.6.9Ключові слова:
чисельні методи, нейронні мережі, генетичний алгоритм, апроксимаціяАнотація
Важливість розвитку наближених методів розв'язання диференціальних рівнянь визначається їхнім широким застосуванням у важливих галузях науки та техніки. Факт того, що багато фізичних та інженерних явищ можна математично описати диференціальними рівняннями, але часто важко знайти їхні аналітичні розв'язки, робить чисельні методи наближеного розв'язання критично важливими. Ці методи необхідні для комп’ютерного моделювання та симуляції складних технічних систем. Враховуючи широкий спектр різновидів диференціальних рівнянь, наближені методи стають універсальним інструментом, адаптованим для вирішення складних задач у різних галузях, та дозволяють краще враховувати вимоги сучасних обчислювальних технологій. Застосування нейронних мереж для наближеного розв'язання диференціальних рівнянь представляє собою перспективний напрямок в галузі наукового моделювання. Нейронні мережі з додаванням фізичної інформації у вигляді складної функції втрат є інноваційним підходом, що об'єднує традиційні методи розв'язання фізичних задач із сучасними техніками глибокого навчання. У цьому підході, нейронна мережа, яка зазвичай використовується для апроксимації функцій, отримує на вхід не лише вхідні дані, але й фізичну інформацію про систему чи процес, яку вона моделює. Ця фізична інформація може бути включена у вигляді додаткових параметрів, обмежень чи рівнянь. Складна функція втрат враховує якість апроксимації нейронною мережею, а також фізичні принципи задачі. Це дозволяє нейронним мережам адаптуватися до фізичних обмежень і забезпечує наближене розв'язання задач, враховуючи важливі аспекти фізичної структури. В роботі досліджується можливість застосування генетичних алгоритмів для налаштування гіперпараметрів нейронних мереж, що апроксимують невідому функцію.
Посилання
Vladov S., Shmelov Yu., Kotliarov K., Hrybanova S., Husarova O., Derevyanko I., Chyzhova L. Onboard parameter identification method of the TV3-117 aircraft engine of the neural network technologies. Вісник КрНУ імені Михайла Остроградського. Випуск 5/2019 (118), 2019. P. 90-96.
Edwards C.H., Penney D.E., Calvis D.T. Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. Boston: Pearson, 2014. 797p.
Pinder G.F. Numerical Methods for Solving Partial Differential Equations. John Wiley & Sons, Inc., 2018.
Karniadakis G.E., Kevrekidis I.G., L.Lu, P. Perdikaris, Wang S., Yang L., Physics-informed machine learning, Nat Rev Phys, vol. 3, no. 6, pp. 422–440, 2021, doi: 10.1038/s42254-021-00314-5.
Willard J., Jia X., Xu S., Steinbach M., Kumar V. Integrating Scientific Knowledge with Machine Learning for Engineering and Environmental Systems. ACM Comput. Surv., 2022, https://doi.org/10.1145/3514228
Cybenko G.V. Approximation by Superpositions of a Sigmoidal function, Mathematics of Control, Signals and Systems, , 1989, vol. 2 no. 4 pp. 303-314
Lagaris I.E., Likas A., Fotiadis D.I. Artifial Neural Networks for Solving Ordinary and Partial Differential Equations. arXiv:physics/9705023v1, 1997, https://doi.org/10.1109/72.712178
Raissi M., Perdikaris P., Karniadakis G.E. Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations. Journal of Computational Physics 378, 2019, 686–707.
Sirignano J., Spiliopoulos K. DGM: A deep learning algorithm for solving partial differential equations. arXiv:1708.07469v5, 2018.
Weinan E, Bing Yu. The Deep Ritz Method: A Deep Learning-Based Numerical Algorithm for Solving Variational Problems. Commun. Math. Stat.,2018, 6:1–12. https://doi.org/10.1007/s40304-018-0127-z
Hongwei Guo, Timon Rabczuk, and Xiaoying Zhuang. A Deep Collocation Method for the Bending Analysis of Kirchhoff Plate. arXiv:2102.02617v1, 2021.
Lu Lu, Xuhui Meng, Zhiping Mao, George Em Karniadakis. DEEPXDE: A Deep Learning Library For Solving Differential Equations. arXiv:1907.04502v2, 2020.
Seo J. Solving real-world optimization tasks using physics-informed neural computing. Scientific Reports, 14(1), 202, 2024.
Radbakhsh S.H., Zandi K., Nikbakht M.. Physics-informed neural network for analyzing elastic beam behavior. Structural Health Monitoring, 2023.
Cai Z., Chen J., Liu M., Liu X., Deep least-squares methods: An unsupervised learning-based numerical method for solving elliptic PDEs, J. Comput. Phys. 420, 2020, 109707, http://dx.doi.org/10.1016/j.jcp.2020.109707.
Uriarte C., Pardo D., Omella A.J. A Finite Element based Deep Learning solver for parametric PDEs. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 391, 2022, 114562, https://doi.org/10.1016/j.cma.2021.114562
Bai J., Liu G.-R., Gupta A., Alzubaidi L., Feng X.-Q., Gu Y. Physics-informed radial basis network (PIRBN): A local approximation neural network for solving nonlinear PDEs, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 415, 2023. ISSN 0045-7825, https://doi.org/10.1016/j.cma.2023.116290.
Galvan E., Mooney P. Neuroevolution in Deep Neural Networks: Current Trends and Future Challenges, 2020. https://doi.org/10.48550/arXiv.2006.05415
Holland J. Adaptation in natural and artificial systems. Ann Arbor : University of Michigan Press, 1975. 183 p.
